已知0<a<2,0<b<2,,0<c<2,求证:a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1.

0<a<2,0<b<2,,0<c<2
所以a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于0
假设都大于1
则a(2-b)*b(2-c)*c(2-a)>1

a(2-b)*b(2-c)*c(2-a)=[a(2-a)][b(2-b)][c(2-c)]
由均值不等式
a+(2-a)>=2根号[a(2-a)]
即2>=2根号[a(2-a)]
所以0<a(2-a)<=1

同理0<b(2-b)<=1,0<c(2-c)<=1
0<[a(2-a)][b(2-b)][c(2-c)]<=1
所以1>=a(2-b)*b(2-c)*c(2-a)>1
即1>1
不成立

所以a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1.